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2.1 - Sommari
Calcolo Differenziale - Sommario

Calcolo Differenziale - Sommario

Tutto sul Calcolo Differenziale: dalla teoria alla prassi.

0. INTRODUZIONE AL CALCOLO DIFFERENZIALE

Introduzione al Calcolo Differenziale

Introduzione al calcolo differenziale: cenni storici ed esempio meccanico del rapporto incrementale e derivata

1. Origine storico del concetto

Osservazione 1 (contestualizzazione storica-matematica del XVII secolo).

Ci troviamo nella seconda metà del XVII secolo, un periodo caratterizzato dagli straordinari contributi di due giganti della matematica: Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz. Questi due luminari sono diventati figure fondamentali nello sviluppo del calcolo differenziale, introducendo concetti rivoluzionari come la derivata, che poi diventerà materia d'esame per quanto ci concerne.

Focalizziamoci ora sul genio di Isaac Newton: autodidatta straordinario, Newton, già a soli 21 anni, ha delineato la concettualizzazione della velocità. È interessante notare che le seguenti definizioni, sebbene non siano direttamente oggetto d'esame, possono essere considerate come un buon cenno alla fisica newtoniana (Introduzione Alla Fisica).

Esempio meccanico del calcolo differenziale

Definizione 2 (legge oraria).

Sia una funzione che associa al tempo la posizione di un punto mobile su un asse .
Allora si dice legge oraria.

FIGURA 1.1. (Legge oraria)
Pasted image 20231122154137.png

Definizione 3 (velocità media dati due istanti di tempo).

Si definisce la velocità, dati due istanti di tempo e la velocità media nel seguente modo:
Sul numeratore abbiamo l'incremento dello spazio, sul denominatore incremento del tempo.

ATTENZIONE! Per "incremento" si intende semplicemente la differenza tra il punto finale e iniziale; quindi non dev'esserci necessariamente un "incremento": può esserci nessuna variazione o anche un "decremento" (ovvero una specie di incremento negativo).

Ora voglio legare questo concetto di velocità ad una sola variabile di tempo ; allora definisco la velocità istantanea mediante il concetto di limite (Definizione 9 (limite infinito di una funzione all'infinito)).

Definizione 4 (velocità istantanea).

Sia una legge oraria.
Allora chiamo la velocità istantanea

Ora abbiamo il concetto meccanico della derivata: nei successivi capitoli ci prescindiamo dai presupposti fisici e ci dirigiamo verso all'astrazione puramente matematica.

A. LE DEFINIZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

A1. Rapporto incrementale

Rapporto Incrementale
Rapporto Incrementale

Definizione di rapporto incrementale di una funzione in un punto.

1. Definizione di rapporto incrementale

Definizione 1 (rapporto incrementale di una funzione relativo un punto del dominio).

Sia , un intervallo (Intervalli).
Sia un punto del dominio .
Allora chiamo il rapporto incrementale della funzione relativamente al punto come

Proposizione 2 (rapporto incrementale come funzione).

Allora si può pensare al rapporto incrementale come una funzione che lega ad un qualsiasi punto in , escluso in quanto si avrebbe la forma indeterminata , un altro punto della retta reale.

Osservazione 3 (interpretazione geometrica della derivata).

Osserviamo che questa definizione ha anche un significato geometrico: infatti è anche la pendenza (coefficiente angolare) della retta secante dei punti e .

FIGURA 1.1. (Significato geometrico)
Pasted image 20231122155846.png

A2. Derivata

Derivata e derivabilità
Derivata e derivabilità

Definizione di derivata, derivabilità in un punto, derivabilità generale, funzione derivata.

1. Derivata

Definizione 1 (derivata di una funzione relativa ad un punto).

Sia , .
Sia il rapporto incrementale (Definizione 1 (rapporto incrementale di una funzione relativo un punto del dominio)).
Allora definisco la derivata di in il limite (Definizione 9 (limite infinito di una funzione all'infinito)) del rapporto incrementale con che tende a .
Naturalmente si definisce tale se tale limite esiste.

Osservazione 2 (interpretazione geometrica della derivata).

Come precedentemente osservato in Osservazione 3 (interpretazione geometrica della derivata), la derivata in un punto ha la sua interpretazione geometrica. Ovvero questa è semplicemente la pendenza della retta tangente in un punto: infatti se prendendo due punti sulla funzione, di cui una "mobile" e l'altra "fissa", poi facendo avvicinare il punto mobile a quello fisso, noteremo che la retta secante dei due punti si "convergerà" ad una retta sola (ovviamente supponendo che esista).

FIGURA 1.1. (Interpretazione geometrica di derivata)
Pasted image 20231122161016.png

2. Derivabilità

Definizione 3 (derivabilità in un punto).

Sia .
Se esiste finito la derivata (Definizione 1 (derivata di una funzione relativa ad un punto))
Allora si dice derivabile nel punto .

Definizione 4 (derivabilità di una funzione).

Sia derivabile (Definizione 3 (derivabilità in un punto)) in ogni punto del suo dominio , allora si dice derivabile (e basta).

Osservazione 5 (collegamento derivata-derivabilità e continuità).

Notiamo che queste due definizioni "seguono" lo schema delle definizioni di continuità (Definizione 2 (Funzione continua per un punto), Definizione 5 (Funzione continua su un insieme))

3. Funzione derivata

Definizione 6 (funzione derivata).

Sia derivabile.
Chiamo la funzione derivata la funzione

A3. Proprietà delle derivate (regole di derivazione)

Proprietà delle derivate
Proprietà delle derivate

Proprietà fondamentali delle derivate: Continuità delle funzioni derivabili, derivata di operazione tra funzioni, derivata di funzione composta, derivata della funzione inversa.

1. Proprietà fondamentali

Continuità della funzione derivabile

Teorema 1 (continuità delle funzioni derivabili).

Sia , intervallo, .
Sia derivabile in (Definizione 3 (derivabilità in un punto)).
Allora è continua in (Definizione 2 (Funzione continua per un punto)).

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (Teorema 1 (continuità delle funzioni derivabili))
Intanto sappiamo che è un intervallo, quindi tutti i suoi punti all'interno ne sono punti di accumulazione: pertanto possiamo prendere per un qualsiasi .
Ora dimostriamo che è continua usando il fatto che è derivabile:

Proposizione 2 (la non derivabilità delle funzioni continue).

Vale il viceversa del teorema 1.1. (Teorema 1 (continuità delle funzioni derivabili))? La risposta è no, in quanto esistono controesempi di funzioni continue ma non derivabili (dunque negando l'implicazione )

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 1.1. (Proposizione 2 (la non derivabilità delle funzioni continue))
Per l'esempio di una funzione continua non derivabile rivolgersi a Esempi di derivate.

Derivata di operazioni tra funzioni

Teorema 3 (derivata di operazioni tra funzioni).

Siano delle funzioni.
Sia .
Allora , , sono derivabili.
In particolare valgono le seguenti:

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE dei punti i., ii., iii. del teorema 1.2. (Teorema 3 (derivata di operazioni tra funzioni))
i. Sia il seguente:
Questo vale analogamente per la sottrazione.
ii. Sia il seguente:

iii. Sia il seguente:
(svolto la dimostrazione del punto iii. da me stesso per esercizio)

2. Derivate di funzioni particolari

Derivata della funzione composta

Teorema 4 (derivata di funzione composta).

Siano , ; , .
Sia derivabile in , derivabile in .
Allora è derivabile in e vale che

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1. (Teorema 4 (derivata di funzione composta))
Nota: la prima parte della dimostrazione sarà l'idea della dimostrazione per cui vogliamo "orientare" la dimostrazione; la seconda parte sarà la dimostrazione vera e propria, anche se leggermente artificiale e forzata.
L'idea della dimostrazione consiste nella seguente:
Tuttavia c'è un problema: in uno dei passaggi moltiplico la frazione per , che è equivalente a 1. Tuttavia se ci troviamo nel caso in cui , avremmo un problema in quanto la frazione precedentemente definita non sarebbe più definita.
Allora per evitare questo problema creiamo, in una maniera "artificiale", una funzione continua che ci permette di evitare questo problema.
Sia
Trovo che è continua in , in quanto per ipotesi è derivabile in .
Inoltre posso verificare che vale la seguente relazione:
In particolare per abbiamo
A questo punto prendendo i rispettivi limiti, ottengo

Derivata della funzione inversa

Teorema 5 (derivata della funzione inversa).

Sia una funzione biiettiva (Definizione 17 (funzione biiettiva)), dunque invertibile (Teorema 24 (condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza della funzione inversa )); sia derivabile in con .
Allora è derivabile in e si ha

Osservazione 6 (interpretazione geometrica del teorema 2.2.).

Anche questo teorema ha un suo significato geometrico: infatti se prendo la funzione originale, la inverto prendendo la sua simmetrica e scambiando le assi, allora prendendo lo stesso punto mi accorgo che la sua tangente esiste ed è proprio la inversa di quella originale.

FIGURA 2.2. (Interpretazione geometrica della derivata della funzione inversa)
Pasted image 20231122203757.png

DIMOSTRAZIONE del teorema 2.2. (Teorema 5 (derivata della funzione inversa))
Si tratta semplicemente (con dei trucchetti) di calcolare il rapporto incrementale .

A4. Derivate successive

Derivata Successiva e Classe C
Derivata Successiva e Classe C

Definizione di derivata seconda, terza, ..., di ordine k; definizione di classe C.

1. Derivata di ordine k-esimo

Definizione 1 (derivata di ordine k-esimo).

Sia , un intervallo (Intervalli).
Sia derivabile (Definizione 4 (derivabilità di una funzione)).
Allora ha senso considerare la funzione derivata
Ma quindi si può chiedere se la funzione derivata è anch'essa derivabile; in tal caso chiamo la derivata della funzione derivata la derivata seconda e la indico con
Per induzione (Assiomi di Peano, il principio di induzione > ^76b850) posso definire la derivata di ordine -esimo come il seguente:

2. La classe C di una funzione

Definizione 2 (classe C di una funzione reale).

Sia derivabile e sia la sua funzione derivata anch'essa derivabile (Definizione 5 (Funzione continua su un insieme)), allora dico che è di classe ;
Generalizzando, se è derivabile fino all'ordine ; ovvero
sono tutte derivabili, allora si dice di classe .
Inoltre se è derivabile per qualunque ordine, allora si dice che è di classe ;

3. Esempi

Esempio 3 (funzione esponenziale).

Consideriamo la classica funzione esponenziale (Funzione esponenziale e Logaritmica); se consideriamo la sua derivata , notiamo che è la stessa.
Allora per qualunque ordine viene derivata, questa rimane la stessa; pertanto è sempre derivabile.

Esempio 4 (funzione potenza).

Consideriamo la funzione potenza (Funzioni di potenza, radice e valore assoluto); se consideriamo la sua derivata , vediamo che fino ad un certo punto (precisamente all'ordine -esimo) questa si annulla; però la funzione costante è sempre derivabile.
Allora anche .

Esempio 5 (funzione seno).

Consideriamo adesso la funzione seno (Funzioni trigonometriche); derivando fino al quarto ordine vediamo che risulta la stessa funzione. Infatti
Allora .

Esercizio 6 (funzione valore assoluto per identità).

Consideriamo la funzione .
Si può dimostrare che questa è derivabile fino al primo ordine ; però non è derivabile. La dimostrazione è stata lasciata al lettore per esercizio.
Allora .

B. LE CONSEGUENZE TEORICHE DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

B1. Teorema di Fermat

Teorema di Fermat
Teorema di Fermat

Teorema di Fermat: cenno storico, enunciato e dimostrazione. Modello di applicazione (collegamento).

0. Cenni storici alla figura di Pierre Fermat

(Paragrafo scritto da me poi rielaborato da ChatGPT)
Pierre de Fermat (1601-1665) è stato un giudice francese di notevole fama. Oltre al suo ruolo di giurista nelle corti francesi, Fermat coltivava la matematica come passatempo, dimostrando però di essere molto più di un dilettante: infatti si guadagno l'appellativo "il principe dei dilettanti".

Tra i suoi contributi più significativi, possiamo citare la sua corrispondenza con Blaise Pascal sul problema della suddivisione della posta, il celebre teorema di Fermat (che esporremo a breve) e l'enigmatico ultimo teorema di Fermat.

Particolarmente noto è l'ultimo teorema di Fermat, su cui il matematico francese sostenne di avere una dimostrazione. Tuttavia, non la pubblicò mai, affermando che la dimostrazione "non stava dentro nel margine dentro nella pagina".

Ai giorni nostri, il teorema è stato finalmente dimostrato dal matematico Sir Andrew J. Wiles, il cui trattato estende per più di 100 pagine. Insomma, forse questa meravigliosa dimostrazione era un po' troppo lunghetta? Forse, comparandoci a Fermat, potremmo scrivere sul nostro esame che la nostra dimostrazione è troppo meravigliosa e lunga per poter essere contenuta, ai fini di giustificare la nostra omissione di eventuali dimostrazioni.

«È impossibile separare un cubo in due cubi, o una potenza quarta in due potenze quarte, o in generale, tutte le potenze maggiori di 2 come somma della stessa potenza. Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina» ("Arithmetica", Diofanto di Alessandria (note di P. de Fermat))

1. Enunciato del teorema di Fermat

Teorema 1 (di Fermat).

Sia , .
Se valgono che:
i. è punto di massimo (minimo) relativo (Definizione 39 (max, min relativo)).
ii. è punto interno per il dominio (Definizione 1 (Punto interno ad un insieme, l'insieme dei punti interni.)); quindi non si trova agli estremi.
iii. è derivabile in (Definizione 3 (derivabilità in un punto)).
Allora vale che
ovvero è un punto stazionario (vedere la definizione sottostante)
A parole, questo teorema di dice che "se è derivabile in un punto di massimo o minimo interno al dominio, allora la sua derivata è nulla."

FIGURA 1.1. (Idea grafica)
Pasted image 20231122213526.png

Punto stazionario

Definizione 2 (punto stazionario, cenno).

Se vale che , allora si dice punto stazionario

2. Dimostrazione del teorema di Fermat

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (Teorema 1 (di Fermat))
Consideriamo un punto che sia massimo relativo per un certo intorno , interno al dominio e per cui è derivabile.
Allora considero gli intervalli e .

  • Nel primo intervallo abbiamo che e che .
    Allora considerando il rapporto incrementale , scopriamo che questa è sempre positiva in quanto e ; allora per la permanenza del segno (usandone la contronominale) (Teorema 3 (della permanenza del segno))
  • Nel secondo intervallo abbiamo che ma comunque in quanto è di massimo.
    Allora riconsiderando il rapporto incrementale vediamo che questa è negativa, in quanto abbiamo il prodotto tra un segno negativo e positivo. Allora
    Ma sappiamo che, in quanto è derivabile in , deve esistere il limite
    Allora l'unico modo per far valere tutte le condizioni ottenute è quella di imporre

3. Modello di applicazione

Questo teorema ci è utile in quanto ci permette di costruire un modello per risolvere un certo tipo di problemi: vedere dunque la sezione 3 di Modelli di problemi su derivate.

B2. Teorema di Rolle

Teorema di Rolle
Teorema di Rolle

Teorema di Rolle: enunciato, dimostrazione e interpretazione grafica.

1. Enunciato del teorema di Rolle

Teorema 1 (di Rolle).

Sia , sia continua su e derivabile su .
Sia inoltre . Riassumendo ho la situazione in figura 1.1..
Allora si verifica che

FIGURA 1.1. (Situazione grafica delle supposizioni)
Pasted image 20231123165756.png

2. Dimostrazione

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di Rolle (Teorema 1 (di Rolle))
Prima di dimostrare il teorema a tutti gli effetti, svolgo la seguente osservazione preliminare.

Osservazione 2 (osservazione preliminare alla dimostrazione del teorema di Rolle).

Notiamo che è continua per tutto il suo dominio, quindi per il teorema di Weierstraß (Teorema 15 (di Weierstraß)) sappiamo che esistono almeno un massimo e minimo di (Definizione 33 (Punto di massimo e minimo assoluto)).

Ora distinguo due casi, dove "posiziono" questi punti di e precedentemente osservati:

  1. Tutti i punti di massimo e minimo assoluto sono agli estremi, dunque gli stessi: allora in questo caso se il massimo assoluto è lo stesso del minimo assoluto di una funzione allora si tratta di una funzione costante del tipo .
    Però calcolandone la derivata troviamo che la proposizione
    è sempre vera nel suo dominio.
  2. Almeno uno fra massimo e/o minimo assoluto della funzione è punto interno a (Definizione 1 (Punto interno ad un insieme, l'insieme dei punti interni.)). Dunque chiamo quel punto .
    Però sapendo che è non-costante, derivabile, continua e il punto scelto è interno, allora per il teorema di Fermat (Teorema 1 (di Fermat)) trovo che

3. Interpretazione geometrica (dimostrazione grafica)

Osservazione 3 (interpretazione grafica della dimostrazione del teorema di Rolle).

Si nota che è possibile dare una buona interpretazione grafica a questo teorema; anzi è addirittura possibile dare una dimostrazione grafica considerando i casi disegnati nella dimostrazione.

FIGURA 3.1. (Disegno)
Pasted image 20231123171135.png

B3. Teorema di Cauchy

Teorema di Cauchy
Teorema di Cauchy

Teorema di Cauchy: enunciato e dimostrazione. Osservazione grafica (da vedere dopo aver visto quella di Lagrange)

1. Enunciato del teorema di Cauchy

Teorema 1 (di Cauchy).

Siano continue in (Definizione 2 (Funzione continua per un punto)), derivabili in (Definizione 3 (derivabilità in un punto)).
Sia inoltre . (ipotesi supplementare)
Allora vale che

2. Dimostrazione

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di Cauchy (Teorema 1 (di Cauchy))
Prima di tutto "do un senso" all'ipotesi supplementare: provo dunque .
Infatti supponendo che, per assurdo, se fosse tale allora per il teorema di Rolle (Teorema 1 (di Rolle)) avrei un per cui si annullerebbe . Infatti si avrebbe la divisione per una quantità che è uguale a .
Pertanto è necessario che .
Ora considero una funzione che chiameremo "phi grande" :
Quindi considerandola scopro le seguenti.

  1. diventa
  2. diventa invece
    Ora scopro che
    Quindi per il teorema di Rolle (Teorema 1 (di Rolle)) ho

Ora considero la sua derivata e la "calcoliamo" in . Svolgendo i conti ottengo

Osservazione 2 (anche se non vale l'ipotesi aggiuntiva il teorema di Cauchy vale fino ad un certo punto).

Se nel teorema di Cauchy (Teorema 1 (di Cauchy)) supponessimo di non far valere l'ipotesi aggiuntiva , allora si potrebbe comunque dire che

3. Interpretazione grafica

Nota: qui si consiglia fortemente prima di leggere l'interpretazione grafica del teorema di Lagrange (Teorema di Lagrange) per poter capire bene questa osservazione.

Osservazione 3 (interpretazione grafica del teorema di Cauchy).

OSS 3.1. (Interpretazione grafica) Con il teorema di Lagrange abbiamo visto che la sua interpretazione grafica consiste nell'intravedere che esiste un punto per il quale la sua tangente è parallela alla retta secante di (Osservazione 2 (interpretazione grafica del teorema di Lagrange)).
Ora ci chiediamo come sarebbe possibile interpretare il teorema di Cauchy da un punto di vista grafico.

Immaginiamo innanzitutto che siano delle leggi orarie (Definizione 2 (legge oraria)) che vivono in .
Ora immaginiamo di "appiattire" la funzione , "distorcendo" la funzione : quindi disegniamo una specie di piano cartesiano in cui la retta delle ascisse viene rappresentata da , la retta della ordinate invece da .

Immaginandoci questo piano, posizioniamo il punto e l'altro punto .
Possiamo disegnare una specie di funzione che parte da e finisce in : però in realtà non si tratta di una vera funzione in quanto non vi è nessun nesso tra e , quindi questa linea può comportarsi come vuole.

Ora immagino il vettore (Vettori Applicati > ^8447d6) come il "vettore di spostamento" e il "vettore velocità" rappresentato da
ovvero prendendo un qualsiasi punto della linea disegnata prendo la sua tangente.
Allora per il teorema di Cauchy sappiamo che
Allora considerando la matrice quadrata 2x2 (Definizione 6 (matrice quadrata di ordine ))
Ora prendendo il determinante (Definizione 1 (determinante della matrice 2x2)) sappiamo che per Cauchy abbiamo
Di conseguenza abbiamo la condizione di parallelismo (Teorema 7 (condizioni di parallelismo e di incidenza per due rette)) per i vettori

FIGURA 3.1. (Idea dell'interpretazione geometrica)
Pasted image 20231123183001.png

Osservazione 4 (Cauchy vale in ?).

Vedere Conseguenze del teorema di Cauchy e di Lagrange in quanto la ritengo una pagina più appropriata per contenere tale informazione. Vedere l'osservazione 1.2..

B4. Teorema di Lagrange

Teorema di Lagrange
Teorema di Lagrange

Teorema di Lagrange: enunciato, dimostrazione e interpretazione grafica.

1. Enunciato del teorema di Lagrange

2. Dimostrazione del teorema di Lagrange

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di Lagrange (Teorema 1 (di Lagrange))
Per dimostrare il teorema di Lagrange basta considerare il teorema di Cauchy (Teorema 1 (di Cauchy)) per ; possiamo verificare che non sarà mai , in quanto la derivata della funzione identità è ; infatti .
Infatti per questo motivo si potrebbe considerare il teorema di Lagrange come un corollario del teorema di Cauchy.

3. Interpretazione grafica

Osservazione 2 (interpretazione grafica del teorema di Lagrange).

Osserviamo che l'espressione
è equivalente al rapporto incrementale (Definizione 1 (rapporto incrementale di una funzione relativo un punto del dominio)).
Quindi il teorema di Lagrange ci sta semplicemente dicendo che se considerando la retta secante (che chiamiamo ) tra il punto e allora dev'esserci almeno un punto per cui la sua tangente è parallela a .

FIGURA 3.1. (Idea grafica)
Pasted image 20231123180819.png

FIGURA 3.2. (Idea grafica 2, tratto da "Le Matematiche" di A. D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov, M. A. Lavrent'ev)
Kolmogorov Teorema Lagrange.jpg.jpg

B5. Teorema di de L'Hôpital

Teorema di De l'Hôpital
Teorema di De l'Hôpital

Uno dei strumenti più potenti e versatili dell'analisi matematica: il teorema del marchese De l'Hôpital

0. Curiosità storiche

L'Hôpital nacque in una ricca famiglia.
Il padre, Anne-Alexandre, era un "pezzo grosso" dell'epoca; infatti, tra le altre cose, fu generale dell'esercito del Re.
Se, da piccolo, il piccolo Guillaume intraprese una carriera militare, in seguito dovette abbandonarla a causa di rilevanti problemi alla vista.

Ergo, il suo interesse si spostò verso la Matematica.
Nei primi anni '90 del XVII secolo, de l'Hôpital ingaggiò Johann Bernoulli affinché gli insegnasse il calcolo infinitesimale.

Il marchese si mostrò così interessato all'argomento che lo imparò in breve tempo e che riassunse in un manuale intitolato "Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes", datato 1696.  
Il suddetto rappresenta il primo manuale di calcolo infinitesimale d'Europa!

Rouse Bell scrive a proposito del libro di de l'Hôpital:
"Il merito di aver redatto il primo trattato che spiega i principi e l'uso del metodo va tutto a de l'Hôpital...Questo lavoro ebbe ampia circolazione; rese la notazione differenziale di uso comune in Francia e contribuì a diffonderla in Europa."

Sappiamo che de l'Hôpital, dal 1694, pagò Bernoulli ben 300 franchi all'anno per raccontargli delle sue scoperte, descritte poi nel suo testo.
Nel 1704, a seguito del decesso di de l'Hôpital, Bernoulli raccontò dell'accordo, asserendo che molti dei risultati nell'Analyse des infiniment petits erano opera sua!

1. Enunciato del teorema

Teorema 1 (di De l'Hôpital).

Siano .
Supponiamo che siano derivabili (Definizione 4 (derivabilità di una funzione)).
Supponiamo inoltre che per ogni punto ( escluso) nel dominio la derivata non si annulla mai;
Supponiamo infine che il limite destro di per sono nulli.
Se esiste il limite
Allora esiste il limite

2. Dimostrazione del teorema

Osservazione 2 (osservazione preliminare; non si annulla mai).

OSS 2.1. (Osservazione preliminare) Supponendo e per , potrà esserci mai un tale che si annulla? No, in quanto sennò avremmo e per il teorema di Rolle (Teorema 1 (di Rolle)) avremmo un in tale che la derivata si annullerebbe; il che è assurdo, in quanto contraddice con le supposizioni iniziali.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di De l'Hôpital (Teorema 1 (di De l'Hôpital))
Prima di tutto per comodità "prolungo" le funzioni in ponendo ; ciò è consentito e non sarebbe restrittivo in quanto le funzioni rimarrebbero comunque continue e derivabili in .
Ora tenendo in conto l'osservazione preliminare (OSS 2.1., Osservazione 2 (osservazione preliminare; non si annulla mai)), ha senso considerare la frazione
Allora "facendo finta di conoscere" il limite
Che tradotto "alla Cauchy" (Definizione 9 (limite infinito di una funzione all'infinito)) vorrebbe dire
Ora considero un punto nell'intervallo e applico il teorema di Cauchy (Teorema 1 (di Cauchy)) alle funzioni in .
Ovvero
e sappiamo che .
Pertanto considerando che non è altro che un punto tra e , si potrebbe "maggiorare" come .
Allora questa uguaglianza vale per l'intorno considerato per : mettendo tutto assieme e riconsiderando la definizione "alla Cauchy" del limite precedentemente scritto, abbiamo
che è proprio la definizione del limite

Osservazione 3 (De l'Hôpital vale anche per limiti all'infinito).

Se al posto di un numero finito pongo ; allora il teorema varrebbe lo stesso. Basta ragionare con la definizione - al posto di -.

Osservazione 4 (De l'Hôpital vale anche per la forma indeterminata ).

Questo teorema vale anche se si verificano entrambi i limiti:

Osservazione 5 (De l'Hôpital vale anche quando il limite diverge a ).

Questo teorema vale anche se il limite vale .

3. Utilità pratica

Proposizione 6 (utilità pratica del teorema di De l'Hôpital).

Se in un limite ho un caso indeterminato del tipo
e se ho
Allora posso calcolare il limite
il quale risultato sarà lo stesso del limite
A parole, se ho un caso indeterminato e ho la funzione sul denominatore che non si annulla mai, allora posso derivare entrambe le frazioni per avere un limite "equivalente".

ATTENZIONE! Questo non è un teorema del tipo "se e solo se"; l'implicazione qui è univoca, pertanto non deve necessariamente valere il viceversa.
Infatti quando si usa il teorema di De l'Hôpital, lo si rende noto usando il simbolo

B6. Formula di Taylor

Formula di Taylor
Formula di Taylor

Formula di Taylor: osservazione preliminare, lemma di Peano, teorema di Taylor col resto di Peano e dimostrazione. Esempi.

0. L'idea della formula di Taylor

Osservazione 0.a (idea del concetto).

Se è derivabile (Definizione 3 (derivabilità in un punto)) in , allora esiste la tangente al grafico nel punto ; infatti questa viene descritta come
Se ora "ingrandisco" questo grafico della funzione vicino al punto , si troverebbe che stiamo "linearizzando" la funzione come la tangente : una curva qualsiasi si "trasforma" in una linea, una retta lineare; l'idea viene raffigurata nella figura 0.a.
Ora ci chiediamo il seguente: se fosse derivabile fino al grado , possiamo costruire un polinomio che "trasforma" in un polinomio? La risposta è sì, con la formula di Taylor.

Si svolgono operazioni simili anche nel campo della fisica, ad esempio con lo studio del movimento del pendolo: per studiarlo bisognerebbe studiare l'equazione differenziale
(dove indica la seconda derivata della legge oraria ; notazione di Newton)
Però è difficile esprimere la soluzione di quest'equazione differenziale in termini di funzioni elementari: pertanto è necessario trovare una buona "approssimazione", in particolare per "angoli piccoli" (ovvero vicini a ). Trasformando nella retta tangente nel punto , si avrebbe
Ovvero, ponendo
Si avrebbe la nuova equazione differenziale
che è più "semplice" da risolvere.

FIGURA 0.a. (La linearizzazione della funzione)
Pasted image 20231130174308.png

1. Lemmi di Peano e di Lagrange

Lemma di Peano

Lemma 1.1 (di Peano).

Sia e .
Sia inoltre derivabile (Definizione 4 (derivabilità di una funzione)) fino all'ordine nell'intervallo .
Supponiamo che la derivata di ogni ordine in sia nullo;
Allora si verifica il seguente limite

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del lemma di Peano (Lemma 1.1 (di Peano))
Per verificare il lemma di Peano basta calcolare il limite della tesi, ovvero
Allora, dato che sia che sono continue, possiamo semplicemente procedere a sostituire con . Però questo ci porta ad una forma indeterminata del tipo .
A questo punto uso il teorema di de L'Hôpital (Teorema 1 (di De l'Hôpital)):
Quindi calcoliamo il "nuovo limite"; però abbiamo di nuovo una situazione ! Allora applico de L'Hôpital una seconda volta! Però anche questa è indeterminata; allora la applico volte, ovvero fino a quando ottengo il limite
Adesso considero quest'ultimo limite come
Notiamo che il limite del rapporto incrementale è semplicemente la derivata della funzione (per definizione): allora, considerando che è derivabile fino all'-esimo ordine, infine abbiamo

Lemma di Lagrange

Lemma 1.2 (di Lagrange).

Sia , derivabile fino all'ordine (ovvero ).
Sia e la sua immagine nulla per tutte le sue derivate; ovvero
Allora, si verifica il seguente:

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del lemma di Lagrange (Lemma 1.2 (di Lagrange))
Posso partire "riscrivendo" l'equazione
Questa è lecita in quanto sto semplicemente aggiungendo ad entrambi i termini: infatti per ipotesi e ovviamente .
Allora considerando la funzione
Osservandola noto che questa non si annulla mai fuori dall'intervallo (escludendo infatti ), ed è pure derivabile fino al grado .
Ma allora posso usare il teorema di Cauchy (Teorema 1 (di Cauchy)) su questa espressione: allora ho
Ma allora posso ripetere questa procedura con quest'ultima espressione, ripetendo lo stesso "trucchetto": allora alla seconda iterazione ho
Ripetendo questa procedura e fermandomi fino al punto per cui ho applicato Cauchy volte:
Ma mi accorgo che ho un'espressione del tipo
Quindi posso usare ora il teorema di Lagrange (Teorema 1 (di Lagrange)), ottenendo così alla fine
Che è la tesi del teorema.

2. Formula di Taylor col resto di Peano/Lagrange

Definizione 2.1. (polinomio di Taylor).

Per compattare la nostra scrittura nei seguenti enunciati, chiamiamo il polinomio di Taylor come il "polinomio principale" che compariranno nelle tesi dei teoremi. Ovvero

Formula di Taylor col resto di Peano

Teorema 2.1. (di Taylor col resto di Peano).

Sia , intervallo, .
Supponiamo derivabile fino all'ordine ; ovvero
Allora, per ogni punto dell'intervallo escluso il punto , vale il seguente:
dove è il resto di Peano; ovvero e ha la speciale proprietà per cui
ovvero avvicinandosi al punto il resto crolla a .

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di Taylor col resto di Peano (Teorema 2.1. (di Taylor col resto di Peano))
Voglio dimostrare che il limite della tesi effettivamente vale; ovvero
allora definisco come il resto
ovvero
Inoltre sappiamo che è derivabile fino all'ordine , dato che si tratta di due funzioni derivabili fino all'ordine . Infatti lo è per ipotesi e un polinomio qualsiasi è derivabile per qualsiasi ordine.
Allora iniziamo a derivare .
Ora prendiamo la sua seconda derivata:
Mi accorgo che per ogni vale che
(che è dimostrabile per induzione (Assiomi di Peano, il principio di induzione > ^76b850))
Allora per il lemma di Peano (Lemma 1.1 (di Peano)) vale che

Formula di Taylor col resto di Lagrange

Teorema 2.2. (di Taylor col resto di Lagrange).

Sia , intervallo e .
Sia derivabile fino all'ordine .
Allora vale che
Dove il secondo membro della soma si chiama resto nella forma di Lagrange.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.2. (Teorema 2.2. (di Taylor col resto di Lagrange))
Vediamo che è derivabile fino all'ordine .
Allora, scrivendo come la funzione
questa è anche derivabile fino all'ordine -esimo.
Allora prima di tutto "calcoliamo" ;
Ora calcoliamo la derivata ;
Allora calcolandola in si ha
Infatti per ogni "termine" che presenta il "binomio" vengono annullate.
Facendo il conto si nota che
Ma allora per il lemma di Lagrange (Lemma 1.2 (di Lagrange)),
Però osserviamo che la derivata -esima di annulla la "seconda componente" (ovvero il polinomio di Taylor), in quanto la -esima derivata di un polinomio di grado è sempre nulla.
Pertanto questa è equivalente a
Allora si ottiene alla fine
che è la tesi.

3. Esempio dell'esponenziale

Consideriamo un esempio celebre della formula di Taylor col resto di Peano di una funzione.

Esempio 3.1. (La funzione esponenziale).

Sia . Pongo . Voglio trovare la formula di Taylor per e .
Prima di tutto considero che
Pertanto
Allora per Taylor, si ha
Ponendo il limite , si avrebbe

Osservazione 3.1. (una dimostrazione dell'identità di Eulero).

Sia nota la cosiddetta identità di Eulero, oppure come è nota per certi matematici, "la formula matematica più bella":
In realtà questa è una generalizzazione di
ovvero la forma trigonometrica di un numero complesso con modulo (Forma Trigonometrica dei Numeri Complessi > ^5bb422).
Se vogliamo considerarla da un punto di vista puramente analitico, ovvero senza effettuare delle considerazioni geometriche dei numeri complessi, possiamo comunque "dimostrare" questa forma mediante le formule di Taylor.
Infatti, considerando:
Ora "calcolo" mediante Taylor;

4. Esempio di applicazione della formula di Taylor col resto di Lagrange

Esempio 4.1. (calcolare la costante di Eulero).

Supponiamo di voler calcolare il numero con un errore inferiore a .
Prima di tutto ricapitoliamo ricordando cos'è la costante di Eulero: per definizione questa costante è il limite fondamentale
Ricordando inoltre dei calcoli effettuati (Esempi di Limiti di Successione > ^bb767b), sappiamo che il numero è limitato:
Ora scrivo la formula di Taylor col resto di Lagrange per , con generico (da determinare in seguito) e
Adesso poniamo e prendiamo la "distanza" tra e il polinomio di Taylor , e come visto prima questa dev'essere minore o uguale al resto di Lagrange.
Ricordiamo che se "vive" tra , allora vive tra ; pertanto possiamo maggiorare con , in quanto è limitata da . Poniamo pertanto
Ora "proviamo" ad inserire degli a partire da , per vedere se innanzitutto il resto (ovvero l'"errore") che ci viene fuori è effettivamente minore di ; in tal caso procediamo a calcolare la somma/sottrazione del polinomio.
L'idea è quello di "stimare il resto".
Quindi il "candidato perfetto" è .
Procedendo ad inserire nel polinomio di Taylor abbiamo
che è proprio il numero fino alla -esima cifra.

C. DALLA TEORIA ALLA PRASSI

C1. Esempi di derivate (derivate notevoli)

Esempi di derivate
Esempi di derivate

Esempi di funzioni derivabili e il calcolo delle loro derivate: tutte (più o meno) le funzioni elementari. Esempi di funzioni non derivabili.

1. Derivate delle funzioni elementari

Funzione costante

Esempio 1 (funzione costante).

Sia la funzione costante, ovvero del tipo
Allora calcolando il rapporto incrementale (Definizione 1 (rapporto incrementale di una funzione relativo un punto del dominio)) , otteniamo
Pertanto

Funzione identità

Esempio 2 (funzione identità).

Sia la funzione identità, ovvero del tipo
Allora calcolando il suo rapporto incrementale si otterrebbe
Pertanto

Funzione potenza (in N)

Esempio 3 (funzione potenza naturale).

Sia la funzione potenza (Funzioni di potenza, radice e valore assoluto > ^2b25ba), ovvero del tipo
Allora calcolando il rapporto incrementale si ottiene
Ricordandoci che abbiamo una differenza di potenze -esime e quindi vale la seguente relazione:
Allora si avrebbe
Passando il limite per si avrebbe il limite di un polinomio, quindi
Pertanto
ATTENZIONE! Con questa "dimostrazione" abbiamo dimostrato che questa vale solo in ; per dimostrare che vale anche in , che verrà fatta successivamente, bisogna usare un altro trucchetto. Però per ora diamo questa buona anche per reale.

Funzione esponenziale

Esempio 4 (funzione exp).

Sia la funzione esponenziale a base (Definizione 10 (funzione esponenziale)), ovvero del tipo
Allora calcolando il suo rapporto incrementale si avrebbe
Ora, passando al limite per , si ha
Pertanto

Osservazione 5 (la peculiarità di exp).

Da qui notiamo che se allora vale che
ed è l'unica funzione per cui vale questa.
Infatti "l'esponenziale risolve l'equazione differenziale"

Funzione logaritmica

Esempio 6 (funzione log).

Sia la funzione logaritmica a base (Teorema 14 (le proprietà del logaritmo)), ovvero del tipo
Allora prendendo il suo rapporto incrementale si ottiene
Notiamo che, passando al limite si ha uno dei limiti fondamentali (Esempi di Limiti di Funzione > ^35600e), ovvero
Allora si ha
Pertanto

Osservazione 7 (dimostrazione alternativa di exp'(x), approfondimento personale).

Approfondimento personale tratto da: Le Matematiche di A. D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov, M. A. Lavrent'ev (1974)

Notiamo che è possibile "dimostrare" la derivata , usando il teorema sulla derivata della funzione inversa (Teorema 5 (derivata della funzione inversa)) e conoscendo la derivata del logaritmo naturale.
Infatti, supponiamo di avere la funzione e la sua inversa .
Ora, usando il teorema sulla derivata della funzione inversa, si ha

riferimento bibliografico: pagina 123

Osservazione 8 (dimostrazione della derivata della funzione potenza in R).

Finalmente abbiamo abbastanza strumenti per poter calcolare la derivata di
Prima di tutto consideriamo questa potenza in termini di esponenziali e logaritmi;
Quindi le derivate di entrambe sono le stesse; deriviamo dunque la funzione del membro destro.
Pertanto

Funzioni trigonometriche seno, coseno e tangente

Esempio 9 (funzione seno).

Sia la funzione seno (Definizione 4 (seno e coseno)) e vogliamo calcolare la sua derivata. Ricordandoci le formule di prostaferesi (Osservazione 12 (formule di prostaferesi)), svolgiamo i calcoli.
Passando al limite di , ricordiamoci dei limiti notevoli (in particolare quella di , abbiamo
Pertanto

Esempio 10 (funzione coseno).

Analogamente al ragionamento svolto sopra, avendo si avrebbe

Esempio 11 (funzione tangente).

Applicando la proprietà sulla derivata di quozienti si potrebbe derivare (ove derivabile) e ottenere

Funzioni trigonometriche arcoseno, arcocoseno, arcotangente

Esempio 12 (funzione arcoseno).

Voglio calcolare la derivata di .
Allora, usando la proprietà sulla derivata delle inverse ho
Ora, sostituendo , ho
Ma considerando gli intervalli di definizione della funzione , ovvero , notiamo che la funzione è sempre positiva. Pertanto, facendo valere la relazione fondamentale , ho
Quindi sostituendo con , alla fine ho
Pertanto infine abbiamo

Esempio 13 (funzione arcocoseno).

Analogamente si dimostra che la derivata della funzione arcocoseno è

Esempio 14 (funzione arcotangente).

Ora vogliamo calcolare la derivata di (funzione arcotangente).
Pertanto

2. Funzioni non derivabili

Valore assoluto

Esempio 15 (funzione valore assoluto).

Vediamo un esempio basilare del fatto che non è vera l'implicazione
Infatti consideriamo .
Notiamo che questa funzione è continua in ; in particolare per , dato che .
Tuttavia la storia è diversa per il limite del rapporto incrementale: considerando prima , abbiamo
A occhio si vede immediatamente che il limite di questa funzione non esiste più per ; infatti prendendo il limite destro e sinistro, abbiamo
Pertanto non è definita.

Osservazione 16 (però la funzione è derivabile altrove).

Però usando al definizione locale di derivabilità notiamo che è comunque derivabile per .
Infatti se , se invece .

Funzione di Weierstraß

Esempio 17 (funzione di Weierstraß).

Abbiamo trovato una funzione continua ma non derivabile per un punto. Ma allora esistono comunque funzioni continue ma non derivabili dappertutto? Ovvero derivabili da nessuna parte.
Questo problema è stato risolto dal celebre matematico K. Weierstraß nel 1872 riuscendo a definire una funzione continua ma derivabile da nessuna parte.

L'idea di questa funzione consiste nella seguente: immaginiamo, sul piano cartesiano, di avere un'elastico immaginario fissato da due punti. Ora, suddividiamo l'area formata da due punti in tre sotto-aree quadrate.

Ora, prendendo il punto sinistro alto e destro basso del quadrato centrale, fissiamo altri due punti e ricreiamo l'elastico.
Poi ricorsivamente ripeto questa procedura per le sotto aree dove passa il nuovo elastico, dandoci così un elastico "spigoloso dappertutto" (quindi derivabile da nessuna parte).
L'idea grafica viene raffigurata nella figura 2.2..

FIGURA 2.2. (Funzione di Weierstraß)
Pasted image 20231129171300.png

Frattali

C2. Conseguenze dei teoremi di Lagrange e di Cauchy

Conseguenze del teorema di Cauchy e di Lagrange
Conseguenze del teorema di Cauchy e di Lagrange

Conseguenze che discendono dai teoremi di Cauchy e Lagrange: conseguenze pratiche e conseguenze di natura "matematica".

1. Considerazioni Pratiche e Quotidiane

Lagrange e il sistema "Tutor"

Osservazione 1 (Lagrange e il sistema "Tutor").

Dal 2004 è stato introdotto il cosiddetto sistema "Tutor" sulle autostrade italiane, al fine di determinare se stiamo rispettando le limitazioni di velocità o meno.

Il sistema Tutor consiste nel seguente: lungo l'autostrada si fissano piazzano due telecamere, tra le quali c'è una distanza . Allora queste fotocamere fotografano le nostre automobili e registrano i seguenti dati: la targa del veicolo e l'istante del tempo in cui siamo stati ripresi. L'idea di questo sistema viene raffigurato nella figura 1.1..

Quindi una volta passate entrambe le telecamere, le autorità hanno dei dati per determinare una misura importante: la nostra velocità media (Definizione 3 (velocità media dati due istanti di tempo)).

Infatti loro hanno
Ipotizziamo di aver infranto la legge e di aver superato ad un certo punto la velocità massima , ricevendo così una multa. Tuttavia, notiamo qualcosa: una parte del testo afferma che secondo il codice della strada (CdS) la velocità istantanea non può essere superata di : quindi c'è un errore! Loro hanno semplicemente misurato la nostra velocità media, non quella istantanea!

Allora presentiamo un ricorso al giudice per farci annullare la muta; inaspettatamente il giudice si rivela di essere un esperto di matematica e richiama il teorema di Lagrange (Teorema 1 (di Lagrange)), affermando che se la nostra velocità media ha ad un certo punto superato il limite, allora c'è almeno un istante di tempo tale che la velocità istantanea misurata è maggiore del limite previsto.

Ovvero
Quindi, alla fine niente ricorso per noi.

FIGURA 1.1. (Idea grafica del sistema Tutor)
Pasted image 20231126005623.png

Cauchy nel nostro spazio tridimensionale

Osservazione 2 (Cauchy in 3D).

Dall'interpretazione geometrica di Cauchy in (Osservazione 3 (interpretazione grafica del teorema di Cauchy)) vediamo due punti nello spazio, la retta secante di questi due punti e per Cauchy vediamo che almeno c'è almeno un punto per cui il suo "vettore velocità" è parallela a questa retta secante.

Ora ci chiediamo il seguente: "come funzionerebbe in ?"

Allora in questo caso immaginiamo una situazione simile, solo che ci immaginiamo una mosca che gironzola da un punto iniziale fino ad un punto finale , e la retta secante tra e sarebbe la "pendenza". La situazione verrà raffigurata nella FIGURA 1.2..
Varrebbe comunque il teorema di Cauchy qua? La risposta è no.

Infatti se ragioniamo sulle strade, vediamo che spesso le strade di montagne tendono ad avere molte curve e tornanti; queste servono infatti a "diminuire" la pendenza dal punto di partenza fino alla montagna! Infatti, se Cauchy valesse anche qui, saremmo tutti costretti ad un certo punto di salire il passo con la stessa "pendenza" della "retta" che collegherebbe il punto di partenza fino alla destinazione.

Un caso più eclatante è quello delle scale a chiocciola; infatti queste rendono possibile per noi di salire verticalmente da un punto all'altro senza dover affrontare pendenze incamminabili.

I gradini di queste scale servono ad "appiattire" la pendenza; l'idea di questo concetto viene raffigurato in figura 1.3..

FIGURA 1.2. (Idea della situazione)
Pasted image 20231126010338.png

FIGURA 1.3. (Scale a chiocciola)
Pasted image 20231126011128.png

2. Considerazioni "Astratte"

Derivate nulle e funzioni costanti

Teorema 3 (derivata nulla è sempre una costante).

Suppongo , derivabile in (Definizione 1 (derivata di una funzione relativa ad un punto)).
Supponendo che allora si ha che .

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1. (Teorema 3 (derivata nulla è sempre una costante))
Dimostriamo questo teorema con Lagrange (Teorema 1 (di Lagrange)) e usando il ragionamento per assurdo.
Partiamo supponendo .
Ora supponiamo, per assurdo, che sia una funzione non costante; ovvero ci sono due punti tali che le loro immagini sono diverse.
Ora posso applicare il teorema di Lagrange sull'intervallo ; questo è ammissibile in quanto abbiamo derivabile su , pertanto è anche continua su (Teorema 1 (continuità delle funzioni derivabili)). Inoltre .
Allora per il teorema di Lagrange,
Tuttavia notiamo che il numeratore non può essere mai in quanto per ipotesi sono diverse e analogamente neanche il denominatore può essere mai .
Allora si avrebbe ; però questo è impossibile in quanto questo contraddirebbe con la tesi .

Osservazione 4 (questo teorema non vale se abbiamo dei buchi).

Notiamo che per essere vero questo teorema, deve essere definita su un intervallo, perché senno avrei dei "buchi" su cui la funzione può compiere dei "salti".

Crescenza e derivate

Teorema 5 (la derivata positiva significa funzione crescente).

Sia derivabile.
Allora è crescente su se e solo se la sua derivata è positiva;

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.2. (Teorema 5 (la derivata positiva significa funzione crescente))
"": Supponiamo crescente su . Allora fissando , posso considerare il rapporto incrementale ;
Però visto che crescente sappiamo che se , allora ; invece se allora . Pertanto in entrambi i casi abbiamo la divisione di due segni concordi, quindi il rapport incrementale sarà sempre positivo per .
Quindi .
Prendendo il limite
possiamo usare la permanenza del segno (Teorema 3 (della permanenza del segno)) "alla rovescia" per dire che anche il limite del rapporto incrementale, che non è altro che la derivata , è sempre positiva.
Pertanto abbiamo verificato che

"": Sia la derivata sempre positiva, per .
Allora per assurdo suppongo che non sia crescente: ovvero abbiamo una situazione in cui almeno due punti non sono "più alti dell'altro".
Allora posso applicare il teorema di Lagrange (Teorema 1 (di Lagrange)) sull'intervallo per trovare l'assurdo come priva: infatti
e per ipotesi questa frazione è negativa, in quanto abbiamo la moltiplicazione di due segni discordi. Però questo è assurdo in quanto all'inizio abbiamo supposto sempre positiva.

C3. Caratterizzazione delle funzioni convesse mediante le derivate

Caratterizzazione delle Funzioni Convesse
Caratterizzazione delle Funzioni Convesse

Teoremi di caratterizzazione per funzioni convesse; una mediante rette, l'altra mediante la derivata seconda

1. Primo teorema di caratterizzazione mediante le rette

Teorema 1 (di caratterizzazione mediante le rette).

Sia , intervallo.
Allora sono equivalenti i seguenti:

Osservazione 2 (interpretazione grafica).

Il significato geometrico di questo teorema vuol semplicemente dire che, quando prendiamo tre punti di una funzione concava e prendiamo le loro rette secanti passanti tra di loro, abbiamo sempre una retta con la "pendenza più grande", con la "pendenza intermedia" e con la "pendenza più piccola".
Nel caso della 2) prendiamo tre pendenze, invece nel caso della tre "dimentichiamo" una di queste pendenze per prendere in considerazione solo due.

FIGURA 1.1. (Significato geometrico)
Pasted image 20231128214919.png

Osservazione 3 (sulle implicazioni).

Al fine della dimostrazione osserviamo che
è equivalente a dire che
in quanto così si "completa il giro delle implicazioni".

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (Teorema 1 (di caratterizzazione mediante le rette))
Da quanto visto nell'osservazione 1.2. (Osservazione 3 (sulle implicazioni)) dobbiamo semplicemente dimostrare tre implicazioni; , e infine .
. Prendendo i punti e un qualsiasi "scalare" , notiamo che sta tra ; quindi può essere scritta in termini di combinazione lineare di (Definizione 1 (Definizione 1.1. (combinazione lineare))). Ovvero
Ora, risolvendo l'equazione in , ottengo
(i calcoli sono lasciati da svolgere per esercizio)
Ora applico la condizione di convessità (Definizione 2 (funzione convessa o concava)) a con appena calcolato.
(anche qui i conti sono lasciati da svolgere per esercizio)
Teniamo la parte segnata come fissata.
Per dimostrare il primo pezzo della tesi di 2) usiamo sommando ambo i lati con ;
Analogamente si dimostra il secondo pezzo della tesi di 2). (da svolgere al lettore per esercizio)
Infine ho completato la dimostrazione di .
. Questa è banale da dimostrare ed è immediata da dimostrare.
. Per ipotesi ho il seguente:
Allora scrivo la combinazione lineare (ovvero ) per ; ora riapplico il punto 3), ottenendo così la tesi di 1).

2. Secondo teorema di caratterizzazione mediante la derivata seconda

Teorema 4 (di caratterizzazione mediante la derivata seconda).

Sia , derivabile (Definizione 4 (derivabilità di una funzione)).
Allora

Corollario 5 (di caratterizzazione mediante il segno della derivata seconda).

Sia , (Definizione 2 (classe C di una funzione reale)); ovvero derivabile fino al secondo ordine .
Allora

DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1. (Teorema 4 (di caratterizzazione mediante la derivata seconda))
Questo è un teorema "se e solo se" (per le prime due condizioni), quindi si mira a mostrare entrambi i versi della doppia implicazione.
"". Sia crescente.
Allora prendo .
Uso il teorema di Lagrange (Teorema 1 (di Lagrange)) sull'intervallo e ; allora esistono tali che
Però le condizioni di prescrivono che dev'essere vera
Allora dato che è crescente, si ha
Pertanto
che è esattamente la condizione di convessità.
"". Sia convessa.
Prendendo un qualsiasi punto tra notiamo che per la condizione di convessità la pendenza tra sarà sempre più piccola della pendenza di .
Allora graficamente (figura 2.1.) si evince che
Analogamente si dimostra che
Invece la terza implicazione, ovvero che per ogni tangente del punto sta sempre sotto il grafico, deriva dalla condizione sulle pendenze (Teorema 1 (di caratterizzazione mediante le rette)) e dal teorema di Lagrange (Teorema 1 (di Lagrange)).

FIGURA 2.1. (Idea grafica della dimostrazione dell'implicazione )
Pasted image 20231128230803.png

Osservazione 6 (interpretazione grafica alternativa, approfondimento personale).

Approfondimento personale tratto da: Le Matematiche di A. D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov, M. A. Lavrent'ev (1974)

Volendo si può dare una interpretazione grafica al fatto che la il segno della derivata prima attribuisce la concavità o la convessità di una funzione; però prima consideriamo il fatto che il segno della derivata prima determina la crescenza o la decrescenza della funzione.

Per esempio prendiamo una funzione con derivata sempre positiva: pertanto è crescente e può avere due possibili curve (escludendo la rettilinea) raffigurate in figura 2.2..
Se vogliamo capire come si comporta la curva, basta pensare che la derivata della derivata non è altro che il "verso" per cui cresce (o scende) la derivata stessa!

A sinistra del disegno, muovendoci lungo la curva vediamo che la derivata della funzione continua a man mano incrementare; si muove quindi verso l'alto. Pertanto si dice che la funzione è "convessa verso il basso" o "concava verso l'alto".
A destra, invece, si avrebbe che la derivata continua a decrescere fino a (quasi) appiattirsi completamente; si muove quindi verso il "basso", suggerendoci così la nozione di "convessa verso l'alto" o "concava verso il basso".
Analogamente questo ragionamento vale lo stesso per le funzioni decrescenti con derivata di segno negativo.

Pertanto, il segno della derivata seconda determina il modo in cui si sviluppa la curva della funzione.

'La derivata seconda ha anche un semplice significato geometrico.
[...], così dal segno si può giudicare da quale parte si incurva il grafico della funzione.
Supponiamo, per esempio, che in un dato intervallo la derivata seconda sia ovunque positiva; [...]. Pertanto, muovendoci lungo la curva questa si incurva costantemente dalla stessa parte, precisamente verso l'alto, ed è pertanto, come si dice, "convessa verso il basso". Viceversa, in una parte della curva dove la derivata seconda sia negativa ([...]) il grafico della funzione è "convesso verso l'alto" ' - riferimento bibliografico all'inizio, pp. 134-136

FIGURA 2.1. (Interpretazione grafica alternativa)
Pasted image 20231128233239.png

Punto di flesso

Definizione 7 (punto di flesso).

Sia .
Sia ; supponiamo che sia continua in .
Allora si dice punto di flesso se si verificano entrambe le condizioni:
èè

Osservazione 8 (Osservazione 2.1.).

Se , derivabile fino al secondo ordine, e supponendo che prima di si ha e dopo di si ha , allora è di flesso. Vale lo stesso se si ha il viceversa.

C4. Tabella delle derivate

Tabella delle derivate
Tabella delle derivate

Tabella delle derivate.

1. Tabella delle derivate delle funzioni elementari

Vedere Esempi di derivate per eventuali "dimostrazioni" di alcune derivate.

D. ESERCIZI SULLE DERIVATE

Esercizi sulle derivate
Esercizi sulle derivate

Tutti gli esercizi sulle derivate proposte da D. D. S. in lezione.

TIPOLOGIA A. CALCOLO DELLE DERIVATE

Modello A.

Qui banalmente si tratta di calcolare derivate di funzioni composte da funzioni elementari mediante le proprietà delle derivate (Proprietà delle derivate).

Lezione 23
#Esercizio

Esercizio 1 (Esercizio A1.).

Calcolare (1+2x+3x^2)'

Esercizio 2 (Esercizio A2.).

Calcolare

Table Of Contents
Calcolo Differenziale - Sommario
0. INTRODUZIONE AL CALCOLO DIFFERENZIALE
1. Origine storico del concetto
Esempio meccanico del calcolo differenziale
A. LE DEFINIZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE
A1. Rapporto incrementale
1. Definizione di rapporto incrementale
A2. Derivata
1. Derivata
2. Derivabilità
3. Funzione derivata
A3. Proprietà delle derivate (regole di derivazione)
1. Proprietà fondamentali
Continuità della funzione derivabile
Derivata di operazioni tra funzioni
2. Derivate di funzioni particolari
Derivata della funzione composta
Derivata della funzione inversa
A4. Derivate successive
1. Derivata di ordine k-esimo
2. La classe C di una funzione
3. Esempi
B. LE CONSEGUENZE TEORICHE DEL CALCOLO DIFFERENZIALE
B1. Teorema di Fermat
0. Cenni storici alla figura di Pierre Fermat
1. Enunciato del teorema di Fermat
Punto stazionario
2. Dimostrazione del teorema di Fermat
3. Modello di applicazione
B2. Teorema di Rolle
1. Enunciato del teorema di Rolle
2. Dimostrazione
3. Interpretazione geometrica (dimostrazione grafica)
B3. Teorema di Cauchy
1. Enunciato del teorema di Cauchy
2. Dimostrazione
3. Interpretazione grafica
B4. Teorema di Lagrange
1. Enunciato del teorema di Lagrange
2. Dimostrazione del teorema di Lagrange
3. Interpretazione grafica
B5. Teorema di de L'Hôpital
0. Curiosità storiche
1. Enunciato del teorema
2. Dimostrazione del teorema
3. Utilità pratica
B6. Formula di Taylor
0. L'idea della formula di Taylor
1. Lemmi di Peano e di Lagrange
Lemma di Peano
Lemma di Lagrange
2. Formula di Taylor col resto di Peano/Lagrange
Formula di Taylor col resto di Peano
Formula di Taylor col resto di Lagrange
3. Esempio dell'esponenziale
4. Esempio di applicazione della formula di Taylor col resto di Lagrange
C. DALLA TEORIA ALLA PRASSI
C1. Esempi di derivate (derivate notevoli)
1. Derivate delle funzioni elementari
Funzione costante
Funzione identità
Funzione potenza (in N)
Funzione esponenziale
Funzione logaritmica
Funzioni trigonometriche seno, coseno e tangente
Funzioni trigonometriche arcoseno, arcocoseno, arcotangente
2. Funzioni non derivabili
Valore assoluto
Funzione di Weierstraß
Frattali
C2. Conseguenze dei teoremi di Lagrange e di Cauchy
1. Considerazioni Pratiche e Quotidiane
Lagrange e il sistema "Tutor"
Cauchy nel nostro spazio tridimensionale
2. Considerazioni "Astratte"
Derivate nulle e funzioni costanti
Crescenza e derivate
C3. Caratterizzazione delle funzioni convesse mediante le derivate
1. Primo teorema di caratterizzazione mediante le rette
2. Secondo teorema di caratterizzazione mediante la derivata seconda
Punto di flesso
C4. Tabella delle derivate
1. Tabella delle derivate delle funzioni elementari
D. ESERCIZI SULLE DERIVATE
TIPOLOGIA A. CALCOLO DELLE DERIVATE