data: 2023-12-12
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Calcolo Differenziale - Sommario
tipologia: appunti
stato: "0"
capitolo:Calcolo Differenziale - Sommario
Tutto sul Calcolo Differenziale: dalla teoria alla prassi.
data: 2023-11-22
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Introduzione al Calcolo Differenziale
tipologia: appunti
stato: "1"Introduzione al calcolo differenziale: cenni storici ed esempio meccanico del rapporto incrementale e derivata
Ci troviamo nella seconda metà del XVII secolo, un periodo caratterizzato dagli straordinari contributi di due giganti della matematica: Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz. Questi due luminari sono diventati figure fondamentali nello sviluppo del calcolo differenziale, introducendo concetti rivoluzionari come la derivata, che poi diventerà materia d'esame per quanto ci concerne.
Focalizziamoci ora sul genio di Isaac Newton: autodidatta straordinario, Newton, già a soli 21 anni, ha delineato la concettualizzazione della velocità. È interessante notare che le seguenti definizioni, sebbene non siano direttamente oggetto d'esame, possono essere considerate come un buon cenno alla fisica newtoniana (Introduzione Alla FisicaIntroduzione Alla Fisica).
Sia
Allora
FIGURA 1.1. (Legge oraria)
Si definisce la velocità, dati due istanti di tempo
ATTENZIONE! Per "incremento" si intende semplicemente la differenza tra il punto finale e iniziale; quindi non dev'esserci necessariamente un "incremento": può esserci nessuna variazione o anche un "decremento" (ovvero una specie di incremento negativo).
Ora voglio legare questo concetto di velocità ad una sola variabile di tempo
Sia
Allora chiamo la velocità istantanea
Ora abbiamo il concetto meccanico della derivata: nei successivi capitoli ci prescindiamo dai presupposti fisici e ci dirigiamo verso all'astrazione puramente matematica.
data: 2023-11-20
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Rapporto Incrementale
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di rapporto incrementale di una funzione in un punto.
Sia
Sia
Allora chiamo il rapporto incrementale
Allora si può pensare al rapporto incrementale
Osserviamo che questa definizione ha anche un significato geometrico: infatti
FIGURA 1.1. (Significato geometrico)
data: 2023-11-22
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Derivata e derivabilità
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di derivata, derivabilità in un punto, derivabilità generale, funzione derivata.
Sia
Sia
Allora definisco la derivata di
Come precedentemente osservato in Rapporto Incrementale > ^c7cbf0Osservazione 3 (interpretazione geometrica della derivata), la derivata in un punto ha la sua interpretazione geometrica. Ovvero questa è semplicemente la pendenza della retta tangente in un punto: infatti se prendendo due punti sulla funzione, di cui una "mobile" e l'altra "fissa", poi facendo avvicinare il punto mobile a quello fisso, noteremo che la retta secante dei due punti si "convergerà" ad una retta sola (ovviamente supponendo che esista).
FIGURA 1.1. (Interpretazione geometrica di derivata)
Sia
Se esiste finito la derivata (^478a87Definizione 1 (derivata di una funzione relativa ad un punto))
Sia
Notiamo che queste due definizioni "seguono" lo schema delle definizioni di continuità (Definizione di Continuità > ^ddf65dDefinizione 2 (Funzione continua per un punto), Definizione di Continuità > ^d2f56fDefinizione 5 (Funzione continua su un insieme))
Sia
Chiamo la funzione derivata la funzione
data: 2023-11-20
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Proprietà delle derivate
tipologia: appunti
stato: "1"Proprietà fondamentali delle derivate: Continuità delle funzioni derivabili, derivata di operazione tra funzioni, derivata di funzione composta, derivata della funzione inversa.
Sia
Sia
Allora
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (^dac6dcTeorema 1 (continuità delle funzioni derivabili))
Intanto sappiamo che
Ora dimostriamo che
Vale il viceversa del teorema 1.1. (^dac6dcTeorema 1 (continuità delle funzioni derivabili))? La risposta è no, in quanto esistono controesempi di funzioni continue ma non derivabili (dunque negando l'implicazione
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 1.1. (^e5ee1aProposizione 2 (la non derivabilità delle funzioni continue))
Per l'esempio di una funzione continua non derivabile rivolgersi a Esempi di derivateEsempi di derivate.
Siano
Sia
Allora
In particolare valgono le seguenti:
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE dei punti i., ii., iii. del teorema 1.2. (^fd716fTeorema 3 (derivata di operazioni tra funzioni))
i. Sia
ii. Sia
iii. Sia
Siano
Sia
Allora
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1. (^250330Teorema 4 (derivata di funzione composta))
Nota: la prima parte della dimostrazione sarà l'idea della dimostrazione per cui vogliamo "orientare" la dimostrazione; la seconda parte sarà la dimostrazione vera e propria, anche se leggermente artificiale e forzata.
L'idea della dimostrazione consiste nella seguente:
Allora per evitare questo problema creiamo, in una maniera "artificiale", una funzione continua che ci permette di evitare questo problema.
Sia
Inoltre posso verificare che vale la seguente relazione:
Sia
Allora
Anche questo teorema ha un suo significato geometrico: infatti se prendo la funzione originale, la inverto prendendo la sua simmetrica e scambiando le assi, allora prendendo lo stesso punto mi accorgo che la sua tangente esiste ed è proprio la inversa di quella originale.
FIGURA 2.2. (Interpretazione geometrica della derivata della funzione inversa)
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.2. (^97198cTeorema 5 (derivata della funzione inversa))
Si tratta semplicemente (con dei trucchetti) di calcolare il rapporto incrementale
data: 2023-11-27
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Derivata Successiva e Classe C
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di derivata seconda, terza, ..., di ordine k; definizione di classe C.
Sia
Sia
Allora ha senso considerare la funzione derivata
Sia
Consideriamo la classica funzione esponenziale
Allora per qualunque ordine viene derivata, questa rimane la stessa; pertanto
Consideriamo la funzione potenza
Allora anche
Consideriamo adesso la funzione seno
Consideriamo la funzione
Si può dimostrare che questa è derivabile fino al primo ordine
Allora
data: 2023-11-22
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Teorema di Fermat
tipologia: appunti
stato: "1"Teorema di Fermat: cenno storico, enunciato e dimostrazione. Modello di applicazione (collegamento).
(Paragrafo scritto da me poi rielaborato da ChatGPT)
Pierre de Fermat (1601-1665) è stato un giudice francese di notevole fama. Oltre al suo ruolo di giurista nelle corti francesi, Fermat coltivava la matematica come passatempo, dimostrando però di essere molto più di un dilettante: infatti si guadagno l'appellativo "il principe dei dilettanti".
Tra i suoi contributi più significativi, possiamo citare la sua corrispondenza con Blaise Pascal sul problema della suddivisione della posta, il celebre teorema di Fermat (che esporremo a breve) e l'enigmatico ultimo teorema di Fermat.
Particolarmente noto è l'ultimo teorema di Fermat, su cui il matematico francese sostenne di avere una dimostrazione. Tuttavia, non la pubblicò mai, affermando che la dimostrazione "non stava dentro nel margine dentro nella pagina"
Ai giorni nostri, il teorema è stato finalmente dimostrato dal matematico Sir Andrew J. Wiles, il cui trattato estende per più di 100 pagine. Insomma, forse questa meravigliosa dimostrazione era un po' troppo lunghetta? Forse, comparandoci a Fermat, potremmo scrivere sul nostro esame che la nostra dimostrazione è troppo meravigliosa e lunga per poter essere contenuta, ai fini di giustificare la nostra omissione di eventuali dimostrazioni.
Sia
Se valgono che:
i.
ii.
iii.
Allora vale che
A parole, questo teorema di dice che "se
FIGURA 1.1. (Idea grafica)
Se vale che
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (^8ab68bTeorema 1 (di Fermat))
Consideriamo un punto
Allora considero gli intervalli
Questo teorema ci è utile in quanto ci permette di costruire un modello per risolvere un certo tipo di problemi: vedere dunque la sezione 3 di Modelli di problemi su derivateModelli di problemi su derivate.
data: 2023-11-23
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Teorema di Rolle
tipologia: appunti
stato: "1"Teorema di Rolle: enunciato, dimostrazione e interpretazione grafica.
Sia
Sia inoltre
Allora si verifica che
FIGURA 1.1. (Situazione grafica delle supposizioni)
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di Rolle (^2d8bffTeorema 1 (di Rolle))
Prima di dimostrare il teorema a tutti gli effetti, svolgo la seguente osservazione preliminare.
Notiamo che
Ora distinguo due casi, dove "posiziono" questi punti di
Si nota che è possibile dare una buona interpretazione grafica a questo teorema; anzi è addirittura possibile dare una dimostrazione grafica considerando i casi disegnati nella dimostrazione.
FIGURA 3.1. (Disegno)
data: 2023-11-23
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Teorema di Cauchy
tipologia: appunti
stato: "1"Teorema di Cauchy: enunciato e dimostrazione. Osservazione grafica (da vedere dopo aver visto quella di Lagrange)
Siano
Sia inoltre
Allora vale che
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di Cauchy (^0c9255Teorema 1 (di Cauchy))
Prima di tutto "do un senso" all'ipotesi supplementare: provo dunque
Infatti supponendo che, per assurdo, se fosse tale allora per il teorema di Rolle (Teorema di Rolle > ^2d8bffTeorema 1 (di Rolle)) avrei un
Pertanto è necessario che
Ora considero una funzione che chiameremo "phi grande"
Ora considero la sua derivata
Se nel teorema di Cauchy (^0c9255Teorema 1 (di Cauchy)) supponessimo di non far valere l'ipotesi aggiuntiva
Nota: qui si consiglia fortemente prima di leggere l'interpretazione grafica del teorema di Lagrange (Teorema di LagrangeTeorema di Lagrange) per poter capire bene questa osservazione.
OSS 3.1. (Interpretazione grafica) Con il teorema di Lagrange abbiamo visto che la sua interpretazione grafica consiste nell'intravedere che esiste un punto per il quale la sua tangente è parallela alla retta secante di
Ora ci chiediamo come sarebbe possibile interpretare il teorema di Cauchy da un punto di vista grafico.
Immaginiamo innanzitutto che
Ora immaginiamo di "appiattire" la funzione
Immaginandoci questo piano, posizioniamo il punto
Possiamo disegnare una specie di funzione che parte da
Ora immagino il vettore
Allora per il teorema di Cauchy sappiamo che
FIGURA 3.1. (Idea dell'interpretazione geometrica)
Vedere Conseguenze del teorema di Cauchy e di LagrangeConseguenze del teorema di Cauchy e di Lagrange in quanto la ritengo una pagina più appropriata per contenere tale informazione. Vedere l'osservazione 1.2..
data: 2023-11-23
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Teorema di Lagrange
tipologia: appunti
stato: "1"Teorema di Lagrange: enunciato, dimostrazione e interpretazione grafica.
Sia
Allora si verifica il seguente:
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di Lagrange (^ef03c2Teorema 1 (di Lagrange))
Per dimostrare il teorema di Lagrange basta considerare il teorema di Cauchy (Teorema di Cauchy > ^0c9255Teorema 1 (di Cauchy)) per
Infatti per questo motivo si potrebbe considerare il teorema di Lagrange come un corollario del teorema di Cauchy.
Osserviamo che l'espressione
Quindi il teorema di Lagrange ci sta semplicemente dicendo che se considerando la retta secante (che chiamiamo
FIGURA 3.1. (Idea grafica)
FIGURA 3.2. (Idea grafica 2, tratto da "Le Matematiche" di A. D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov, M. A. Lavrent'ev)
data: 2023-11-27
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Teorema di De l'Hôpital
tipologia: appunti
stato: "1"Uno dei strumenti più potenti e versatili dell'analisi matematica: il teorema del marchese De l'Hôpital
TRATTO DAL SITO
http://scienzaemusica.blogspot.com/2012/06/de-lhopital-e-il-quesito-dellesame-di.html
L'Hôpital nacque in una ricca famiglia.
Il padre, Anne-Alexandre, era un "pezzo grosso" dell'epoca; infatti, tra le altre cose, fu generale dell'esercito del Re.
Se, da piccolo, il piccolo Guillaume intraprese una carriera militare, in seguito dovette abbandonarla a causa di rilevanti problemi alla vista.
Ergo, il suo interesse si spostò verso la Matematica.
Nei primi anni '90 del XVII secolo, de l'Hôpital ingaggiò Johann Bernoulli affinché gli insegnasse il calcolo infinitesimale.
Il marchese si mostrò così interessato all'argomento che lo imparò in breve tempo e che riassunse in un manuale intitolato "Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes", datato 1696.
Il suddetto rappresenta il primo manuale di calcolo infinitesimale d'Europa!
Rouse Bell scrive a proposito del libro di de l'Hôpital:
"Il merito di aver redatto il primo trattato che spiega i principi e l'uso del metodo va tutto a de l'Hôpital...Questo lavoro ebbe ampia circolazione; rese la notazione differenziale di uso comune in Francia e contribuì a diffonderla in Europa."
Sappiamo che de l'Hôpital, dal 1694, pagò Bernoulli ben 300 franchi all'anno per raccontargli delle sue scoperte, descritte poi nel suo testo.
Nel 1704, a seguito del decesso di de l'Hôpital, Bernoulli raccontò dell'accordo, asserendo che molti dei risultati nell'Analyse des infiniment petits erano opera sua!
Siano
Supponiamo che
Supponiamo inoltre che per ogni punto (
OSS 2.1. (Osservazione preliminare) Supponendo
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di De l'Hôpital (^67a7cdTeorema 1 (di De l'Hôpital))
Prima di tutto per comodità "prolungo" le funzioni
Ora tenendo in conto l'osservazione preliminare (OSS 2.1., ^ce8190Osservazione 2 (osservazione preliminare;
Ovvero
Pertanto considerando che
Allora questa uguaglianza vale per l'intorno considerato per
Se al posto di
Questo teorema vale anche se si verificano entrambi i limiti:
Questo teorema vale anche se il limite
Se in un limite ho un caso indeterminato del tipo
ATTENZIONE! Questo non è un teorema del tipo "se e solo se"; l'implicazione qui è univoca, pertanto non deve necessariamente valere il viceversa.
Infatti quando si usa il teorema di De l'Hôpital, lo si rende noto usando il simbolo
data: 2023-11-30
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Formula di Taylor
tipologia: appunti
stato: "1"Formula di Taylor: osservazione preliminare, lemma di Peano, teorema di Taylor col resto di Peano e dimostrazione. Esempi.
Se
Ora ci chiediamo il seguente: se
Si svolgono operazioni simili anche nel campo della fisica, ad esempio con lo studio del movimento del pendolo: per studiarlo bisognerebbe studiare l'equazione differenziale
Però è difficile esprimere la soluzione di quest'equazione differenziale in termini di funzioni elementari: pertanto è necessario trovare una buona "approssimazione", in particolare per "angoli piccoli" (ovvero vicini a
FIGURA 0.a. (La linearizzazione della funzione)
Sia
Sia inoltre
Supponiamo che la derivata di ogni ordine in
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del lemma di Peano (^0fe338Lemma 1.1 (di Peano))
Per verificare il lemma di Peano basta calcolare il limite della tesi, ovvero
A questo punto uso il teorema di de L'Hôpital (Teorema di De l'Hôpital > ^67a7cdTeorema 1 (di De l'Hôpital)):
Sia
Sia
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del lemma di Lagrange (^39ee3bLemma 1.2 (di Lagrange))
Posso partire "riscrivendo" l'equazione
Allora considerando la funzione
Ma allora posso usare il teorema di Cauchy (Teorema di Cauchy > ^0c9255Teorema 1 (di Cauchy)) su questa espressione: allora ho
Per compattare la nostra scrittura nei seguenti enunciati, chiamiamo il polinomio di Taylor come il "polinomio principale" che compariranno nelle tesi dei teoremi. Ovvero
Sia
Supponiamo
Allora, per ogni punto dell'intervallo escluso il punto
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di Taylor col resto di Peano (^947c8aTeorema 2.1. (di Taylor col resto di Peano))
Voglio dimostrare che il limite della tesi effettivamente vale; ovvero
Allora iniziamo a derivare
Allora per il lemma di Peano (^0fe338Lemma 1.1 (di Peano)) vale che
Sia
Sia
Allora vale che
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.2. (^9b9be7Teorema 2.2. (di Taylor col resto di Lagrange))
Vediamo che
Allora, scrivendo
Allora prima di tutto "calcoliamo"
Facendo il conto si nota che
Pertanto questa è equivalente a
Consideriamo un esempio celebre della formula di Taylor col resto di Peano di una funzione.
Sia
Prima di tutto considero che
Sia nota la cosiddetta identità di Eulero, oppure come è nota per certi matematici, "la formula matematica più bella":
Se vogliamo considerarla da un punto di vista puramente analitico, ovvero senza effettuare delle considerazioni geometriche dei numeri complessi, possiamo comunque "dimostrare" questa forma mediante le formule di Taylor.
Infatti, considerando:
Supponiamo di voler calcolare il numero
Prima di tutto ricapitoliamo ricordando cos'è la costante di Eulero: per definizione questa costante è il limite fondamentale
L'idea è quello di "stimare il resto".
Procedendo ad inserire
data: 2023-11-20
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Esempi di derivate
tipologia: appunti
stato: "1"Esempi di funzioni derivabili e il calcolo delle loro derivate: tutte (più o meno) le funzioni elementari. Esempi di funzioni non derivabili.
Sia
Sia
Sia
Sia
Da qui notiamo che se
Infatti "l'esponenziale risolve l'equazione differenziale"
Sia
Approfondimento personale tratto da: Le Matematiche di A. D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov, M. A. Lavrent'ev (1974)
Notiamo che è possibile "dimostrare" la derivata
Infatti, supponiamo di avere la funzione
Ora, usando il teorema sulla derivata della funzione inversa, si ha
riferimento bibliografico: pagina 123
Finalmente abbiamo abbastanza strumenti per poter calcolare la derivata di
Sia
Analogamente al ragionamento svolto sopra, avendo
Applicando la proprietà sulla derivata di quozienti si potrebbe derivare
Voglio calcolare la derivata di
Allora, usando la proprietà sulla derivata delle inverse ho
Analogamente si dimostra che la derivata della funzione arcocoseno è
Ora vogliamo calcolare la derivata di
Vediamo un esempio basilare del fatto che non è vera l'implicazione
Notiamo che questa funzione è continua in
Tuttavia la storia è diversa per il limite del rapporto incrementale: considerando prima
Però usando al definizione locale di derivabilità notiamo che
Infatti
Abbiamo trovato una funzione continua ma non derivabile per un punto. Ma allora esistono comunque funzioni continue ma non derivabili dappertutto? Ovvero derivabili da nessuna parte.
Questo problema è stato risolto dal celebre matematico K. Weierstraß nel 1872 riuscendo a definire una funzione continua ma derivabile da nessuna parte.
L'idea di questa funzione consiste nella seguente: immaginiamo, sul piano cartesiano, di avere un'elastico immaginario fissato da due punti. Ora, suddividiamo l'area formata da due punti in tre sotto-aree quadrate.
Ora, prendendo il punto sinistro alto e destro basso del quadrato centrale, fissiamo altri due punti e ricreiamo l'elastico.
Poi ricorsivamente ripeto questa procedura per le sotto aree dove passa il nuovo elastico, dandoci così un elastico "spigoloso dappertutto" (quindi derivabile da nessuna parte).
L'idea grafica viene raffigurata nella figura 2.2..
FIGURA 2.2. (Funzione di Weierstraß)
data: 2023-11-23
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Conseguenze del teorema di Cauchy e di Lagrange
tipologia: appunti
stato: "1"Conseguenze che discendono dai teoremi di Cauchy e Lagrange: conseguenze pratiche e conseguenze di natura "matematica".
Dal 2004 è stato introdotto il cosiddetto sistema "Tutor" sulle autostrade italiane, al fine di determinare se stiamo rispettando le limitazioni di velocità o meno.
Il sistema Tutor consiste nel seguente: lungo l'autostrada si fissano piazzano due telecamere, tra le quali c'è una distanza
Quindi una volta passate entrambe le telecamere, le autorità hanno dei dati per determinare una misura importante: la nostra velocità media (Introduzione al Calcolo Differenziale > ^190e60Definizione 3 (velocità media dati due istanti di tempo)).
Infatti loro hanno
Allora presentiamo un ricorso al giudice per farci annullare la muta; inaspettatamente il giudice si rivela di essere un esperto di matematica e richiama il teorema di Lagrange (Teorema di Lagrange > ^ef03c2Teorema 1 (di Lagrange)), affermando che se la nostra velocità media
Ovvero
FIGURA 1.1. (Idea grafica del sistema Tutor)
Dall'interpretazione geometrica di Cauchy in
Ora ci chiediamo il seguente: "come funzionerebbe in
Allora in questo caso immaginiamo una situazione simile, solo che ci immaginiamo una mosca che gironzola da un punto iniziale
Varrebbe comunque il teorema di Cauchy qua? La risposta è no.
Infatti se ragioniamo sulle strade, vediamo che spesso le strade di montagne tendono ad avere molte curve e tornanti; queste servono infatti a "diminuire" la pendenza dal punto di partenza fino alla montagna! Infatti, se Cauchy valesse anche qui, saremmo tutti costretti ad un certo punto di salire il passo con la stessa "pendenza" della "retta" che collegherebbe il punto di partenza fino alla destinazione.
Un caso più eclatante è quello delle scale a chiocciola; infatti queste rendono possibile per noi di salire verticalmente da un punto all'altro senza dover affrontare pendenze incamminabili.
I gradini di queste scale servono ad "appiattire" la pendenza; l'idea di questo concetto viene raffigurato in figura 1.3..
FIGURA 1.2. (Idea della situazione)
FIGURA 1.3. (Scale a chiocciola)
Suppongo
Supponendo che
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1. (^19eb72Teorema 3 (derivata nulla è sempre una costante))
Dimostriamo questo teorema con Lagrange (Teorema di Lagrange > ^ef03c2Teorema 1 (di Lagrange)) e usando il ragionamento per assurdo.
Partiamo supponendo
Ora supponiamo, per assurdo, che
Allora per il teorema di Lagrange,
Allora si avrebbe
Notiamo che per essere vero questo teorema,
Sia
Allora
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.2. (^45aa1eTeorema 5 (la derivata positiva significa funzione crescente))
"
Quindi
Prendendo il limite
Pertanto abbiamo verificato che
"
Allora per assurdo suppongo che
data: 2023-11-28
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Caratterizzazione delle Funzioni Convesse
tipologia: appunti
stato: "1"Teoremi di caratterizzazione per funzioni convesse; una mediante rette, l'altra mediante la derivata seconda
Sia
Allora sono equivalenti i seguenti:
Il significato geometrico di questo teorema vuol semplicemente dire che, quando prendiamo tre punti di una funzione concava e prendiamo le loro rette secanti passanti tra di loro, abbiamo sempre una retta con la "pendenza più grande", con la "pendenza intermedia" e con la "pendenza più piccola".
Nel caso della 2) prendiamo tre pendenze, invece nel caso della tre "dimentichiamo" una di queste pendenze per prendere in considerazione solo due.
FIGURA 1.1. (Significato geometrico)
Al fine della dimostrazione osserviamo che
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (^742caeTeorema 1 (di caratterizzazione mediante le rette))
Da quanto visto nell'osservazione 1.2. (^b50a27Osservazione 3 (sulle implicazioni)) dobbiamo semplicemente dimostrare tre implicazioni;
Ora applico la condizione di convessità (Funzione Convessa > ^f4cbddDefinizione 2 (funzione convessa o concava)) a
Teniamo la parte segnata come
Per dimostrare il primo pezzo della tesi di 2) usiamo
Infine ho completato la dimostrazione di
Sia
Allora
Sia
Allora
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1. (^318646Teorema 4 (di caratterizzazione mediante la derivata seconda))
Questo è un teorema "se e solo se" (per le prime due condizioni), quindi si mira a mostrare entrambi i versi della doppia implicazione.
"
Allora prendo
Uso il teorema di Lagrange (Teorema di Lagrange > ^ef03c2Teorema 1 (di Lagrange)) sull'intervallo
"
Prendendo un qualsiasi punto
Allora graficamente (figura 2.1.) si evince che
FIGURA 2.1. (Idea grafica della dimostrazione dell'implicazione
Approfondimento personale tratto da: Le Matematiche di A. D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov, M. A. Lavrent'ev (1974)
Volendo si può dare una interpretazione grafica al fatto che la il segno della derivata prima attribuisce la concavità o la convessità di una funzione; però prima consideriamo il fatto che il segno della derivata prima determina la crescenza o la decrescenza della funzione.
Per esempio prendiamo una funzione con derivata sempre positiva: pertanto è crescente e può avere due possibili curve (escludendo la rettilinea) raffigurate in figura 2.2..
Se vogliamo capire come si comporta la curva, basta pensare che la derivata della derivata non è altro che il "verso" per cui cresce (o scende) la derivata stessa!
A sinistra del disegno, muovendoci lungo la curva vediamo che la derivata della funzione continua a man mano incrementare; si muove quindi verso l'alto. Pertanto si dice che la funzione è "convessa verso il basso" o "concava verso l'alto".
A destra, invece, si avrebbe che la derivata continua a decrescere fino a (quasi) appiattirsi completamente; si muove quindi verso il "basso", suggerendoci così la nozione di "convessa verso l'alto" o "concava verso il basso".
Analogamente questo ragionamento vale lo stesso per le funzioni decrescenti con derivata di segno negativo.
Pertanto, il segno della derivata seconda determina il modo in cui si sviluppa la curva della funzione.
'La derivata seconda ha anche un semplice significato geometrico.
[...], così dal segno si può giudicare da quale parte si incurva il grafico della funzione.
Supponiamo, per esempio, che in un dato intervallo la derivata seconda sia ovunque positiva; [...]. Pertanto, muovendoci lungo la curva questa si incurva costantemente dalla stessa parte, precisamente verso l'alto, ed è pertanto, come si dice, "convessa verso il basso". Viceversa, in una parte della curva dove la derivata seconda sia negativa ([...]) il grafico della funzione è "convesso verso l'alto" ' - riferimento bibliografico all'inizio, pp. 134-136
FIGURA 2.1. (Interpretazione grafica alternativa)
Sia
Sia
Allora
Se
data: 2023-11-20
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Tabella delle derivate
tipologia: appunti
stato: "1"Tabella delle derivate.
Vedere Esempi di derivateEsempi di derivate per eventuali "dimostrazioni" di alcune derivate.
data: 2023-11-29
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Esercizi sulle derivate
tipologia: appunti
stato: "1"Tutti gli esercizi sulle derivate proposte da D. D. S. in lezione.
Qui banalmente si tratta di calcolare derivate di funzioni composte da funzioni elementari mediante le proprietà delle derivate (Proprietà delle derivateProprietà delle derivate).
Lezione 23
#Esercizio
Calcolare (1+2x+3x^2)'
Calcolare